Dieses Video nutzt die Schreibweise der Vektorgeometrie nach dem Konzept von Prof. Günther Malle. Neben der herkömmlichen ist diese Schreibweise ebenfalls für das Abitur in Baden-Württemberg zugelassen und ist kompatibel zu den Aufgaben des verwendeten Schulbuchs.

 
Einen Vergleich der konventionellen mit der "Malle" - Schreibweise, findet man in Video 7.1.

Aufgaben

 

Leicht:

  • S.258/ 1a,b,c,d

 

Mittel:

  • S.258/ 2
  • S.259/ 3 erste Spalte zweite Spalte
  • S.259/ 7, 10

 

Schwer:

  • ---

Quiz 7.7 Ebenengleichungen

Dies ist ein Quiz.

Bestenliste: Quiz 7.7 Ebenengleichungen

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41 Kommentare

  1. Ich versteh nicht ganz wie man bei der Normalengleichung zur Parametergleichung auf die Spannvektoren kommt.
    Kann mir das bitte nochmal jemand wenn es geht in eigenen Worten erklären ?

    • Du musst die x1, x2 und x3 Koordinaten der Spannvektoren so bestimmen, dass das Skalarprodukt aus Spannvektor und Normalenvektor 0 ergibt. Dabei musst du darauf achten, dass die beiden Spannvektoren nicht parallel zueinander sind.

  2. Wenn man das Kreuzprodukt ausrechnet, was wäre dann in der Arbeit die korrekte Schreibweise? Das mit den bunten Zahlen und Strichen ist vielleicht ein wenig zeitaufwendig. Ich kann mir aber vorstellen, dass, wenn man das alles mit Füller macht, das ganze etwas unübersichtlich/unschön (womöglich sogar Punktabzug) wird. Was schlagt ihr vor?

    • Ich würde es vielleicht noch einmal nach dem wegstreichen der beiden Zeilen daneben schreiben, dass macht es wenigstens ein wenig übersichtlicher. Ansonsten ist es denke ich das beste wenn du es wirklich mit den Farben machst, auch wenn es auf den ersten Blick verwirrend aussehen mag.

      • Oh, jetzt bist du mir zuvorgekommen.
        Das mit dem LGS ist aber echt interessant. Hätte nicht gedacht, dass man das so machen kann.

    • Du kannst nicht direkt von der Parameter- zur Koordinatengleichung kommen, da du dafür einmal den Normalenvektor (wie auch bei der Normalengleichung) und zusätzlich noch einen Stützvektor (wird auch für die Normalengleichung benötigt) benötigst. Es führt also kein Weg darum, zuerst die Normalengleichung zu bestimmen und diese dann zur Koordinatengleichung zu vereinfachen.

    • Das Vektorprodukt wird benötigt, um einen Vektor auszurechnen, der orthogonal zu zwei anderen Vektoren ist. Das erspart das LGS lösen über das Skalarprodukt. Wie du das Vektorprodukt ausrechnest, wird gut im Video erklärt.

    • Die Gerade liefert schon mal Stützvektor und einen Spannvektor der Ebene. Mit Hilfe des Stützvektors und A kannst du den zweiten Spannvektor der Ebene bestimmen. Mit Hilfe der beiden Spannvektoren erhältst du dann über das Kreuzprodukt den gesuchten Normalenvektor.

    • Du musst bei der Aufgabe als erstes eine Parametergleichung aufstellen. Der Stützvektor ist (3/0/3). Der erste Spannvektor ist in der Geradengleichung angegeben (2/-2/-2). Der zweiten Spannvektor ist (4/-1/-4). Du bekommst ihn raus, indem du den Punkt A(3/0/-3) - den Punkt (-1/1/1) rechnest. Die Parametergleichung lautet dann E:X=(3/0/-3) + r(2/-2/-2) +s(4/-1/-4). Danach kannst du dann die Normalengleichung wie üblich aufstellen. E:[X-(3/0/-3)] x (6/0/6)=0. Dann sieht man, dass der Normalenvektor ein vielfaches ist und somit auch (1/0/1) lauten kann.

  3. Wie ist das im Buch auf Seite 259 bei Aufgabe 3: Wenn ich z.B. x1 = 9 gegeben habe, kann ich ja nur P1 und kein P2 und kein P3 bilden. Somit habe ich dann ja nur einen Stützvektor, nämlich P1 und keine Spannvektoren? Darf ich mir die Spannvektoren dann beliebig raussuchen oder muss man da etwas beachten?

    • Die Ebene hat den Normalenvektor npfeil=(1/0/0), damit weißt du dass sie parallel zur x2x3 - Ebene sein muss. Also müssen deine Spannvektoren diese Ebene ausspannen, z.B. upfeil=(0/1/0) und vpfeil=(0/0/1).

      Alternativ kannst du auch drei beliebige Punkte wählen, z.b. P(9/0/0), Q(9/1/0) und R(9/0/1). Mit denen kannst du dann auch wie gehabt die Spannvektoren finden.

    • Die allergleiche Frage hab ich mir auch gestallt, aber ich glaub, ich habs jetzt.
      Zu Beginn stellst du die Normalengleichung mit dem Punkt Q als Stützvektor und der Strecke QP als Normalenvektor auf, also: E: [X-(2|1|3)] * (-3|1|-6).
      Dann bestimmst du hiervon die Koordinatengleichung, also: E: -3x1 + x2 -6x3 = -23.
      Dann muss man ja die Schnittpunkte mit den drei Koordinatenachsen herausfinden; also für den Schnittpunkt mit der x1-Achse x2 und x3 gleich 0 setzten. Dass setzt man dann so in die Koordinatengleichung von oben ein, also E: -3x1 = -23, löst das auf sodass bei x1 dann 23/3 herauskommen. Dann hat man den ersten Schnittpunkt S1(23/3|0|0).
      Und mit dem Prinzip macht man es dann auch für die beiden anderen Achsen und erhält alle drei Schnittpunkte... 😉

    • also ich mein bei dem ersten Spannvektor u, ob es da auch die erste Koordinate sein muss. War bisschen unverständlich meine Frage.

      • Es ist egal, welche der drei Koordinate man gleich null setzt. Man wählt eine aus und gleicht danach die anderen beiden sozusagen an, dass man insgesamt beim Ausrechnen des Skalarprodukts mit dem Stützvektor P auf das Ergebnis Null kommt. Meinst du das?

      • Also es geht hier ja um Spannvektoren und nicht um Normalenvektoren, aber generell gilt: Normalenvektoren, Spannvektoren und Richtungsvektoren dürfen nie (0/0/0) sein. Den das ist der Nullvektor und den kann man geometrisch nicht als Pfeil (bzw. nur als Pfeil auf sich selbst) deuten.

    • Du musst, glaube ich, immer die Vektoren vom Stützvektor zu den anderen beiden Punkten als Spannvektoren nehmen. Aber es ist egal, welchen Punkt du als Stützvektor wählst.

      • Sorry Tim, wir machen es zwar oft genau so, aber im Prinzip ist es egal, du könntest auch P2P3 als einen Spannvektor nehmen.

  4. Bei Aufgabe zwei Koordinatengleichug zu Parametergleichung. Ist da nicht ein Vorzeichenfehler? Müsste P1 nicht (0/0/6) sein da vor X3 ja schon ein Minus ist? Und müsste P2 nicht (0/-6/0) sein da das Vorzeichen vor x2 positiv ist?

    • Stimmt denke ich schon so wie im Video, da hinter dem = in der Gleichung ja plus 6 steht.
      P1 (0/0/-6) ist also richtig, da man ja dann -6 für x3 in der Gleichung 2x1 + x2 - x3 = 6 einsetzt. Das heißt also 2 x 0 + 0 - (-6) = 6, weil zwei mal minus hintereinander ja plus ergibt. Wenn also quasi links und rechts neben dem = 6 "rauskommt", ist die Gleichung erfüllt.
      Das gleiche gilt dann für P2 (0/6/0). Setzt man das in die Gleichung ein ergibt sich: 2 x 0 + 6 - 0 = 6.

    • P1 muss (0/0/-6) sein, da 2 x 0 + 0 = 0 und wenn du dann für x3 nur "6" einsetzen würdest, hieße das Ergebnis "-6=6"
      du brauchst ja 2 negative Vorzeichen, damit es wieder positiv wird.

      und bei P2 dann das Gleiche, wenn du hier für x2 "-6" einsetzen würdest, hieße es wieder "-6=6", da minus und plus ja negativ bleibt.

      ich hoffe das war jetzt einigermaßen verständlich....

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